Tentukan persamaan lingkaran, yang berjari-jari 2 satuan dan menyinggung garis 3x + 3y - 7 = 0 di titik [tex](2\frac{1}{3} , 0)[/tex]
Persamaan lingkarannya adalah [tex]\displaystyle{\boldsymbol{\left ( x-\frac{7}{3}+\sqrt{2} \right )^2+(y+\sqrt{2})^2=4~atau~\left ( x-\frac{7}{3}-\sqrt{2} \right )^2+(y-\sqrt{2})^2=4} }[/tex].
PEMBAHASAN
Persamaan lingkaran adalah tempat kedudukan titik titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Dalam hal ini, titik tersebut adalah titik pusat lingkaran. Persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) dapat ditulis dalam bentuk :
[tex](x-p)^2+(y-q)^2=r^2[/tex]
Dengan :
(p,q) = titik pusat lingkaran
r = jari jari lingkaran
Untuk mencari persamaan garis singgung di titik (x₁, y₁) pada lingkaran dapat menggunakan rumus :
[tex](x-p)(x_1-p)+(y-q)(y_1-q)=r^2[/tex]
.
DIKETAHUI
Persamaan lingkaran :
- Jari jari r = 2 satuan.
- Menyingung garis 3x+3y-7 = 0 di titik [tex]\displaystyle{\left ( 2\frac{1}{3},0 \right ) }[/tex]
.
DITANYA
Tentukan persamaan lingkarannya.
.
PENYELESAIAN
[tex]3x+3y-7=0[/tex]
[tex]3y=7-3x[/tex]
[tex]\displaystyle{y=-x+\frac{7}{3}~~~...(i) }[/tex]
.
PGS pada lingkaran dapat juga dicari dengan rumus :
[tex](x-p)(x_1-p)+(y-q)(y_1-q)=r^2[/tex]
[tex]\displaystyle{(x-p)\left ( \frac{7}{3}-p \right )+(y-q)(0-q)=2^2 }[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{7}{3}x-px-\frac{7}{3}p+p^2-qy+q^2=4 }[/tex]
[tex]\displaystyle{qy=\left ( \frac{7}{3}-p \right )x+p^2+q^2-\frac{7}{3}p-4 }[/tex]
[tex]\displaystyle{y=\left ( \frac{\frac{7}{3}-p}{q} \right )x+\frac{p^2+q^2-\frac{7}{3}p-4}{q}~~~...(ii) }[/tex]
.
Persamaan garis (i) dan (ii) adalah sama. Dengan menyamakan koefisiennya diperoleh :
[tex]\displaystyle{\frac{\frac{7}{3}-p}{q}=-1 }[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{7}{3}-p=-q }[/tex]
[tex]\displaystyle{p=\frac{7}{3}+q~~~...(iii) }[/tex]
.
[tex]\displaystyle{\frac{p^2+q^2-\frac{7}{3}p-4}{q}=\frac{7}{3} }[/tex]
[tex]\displaystyle{p^2+q^2-\frac{7}{3}p-4=\frac{7}{3}q~~~...substitusi~pers.(iii) }[/tex]
[tex]\displaystyle{\left ( \frac{7}{3}+q \right )^2+q^2-\frac{7}{3}\left ( \frac{7}{3}+q \right )-4=\frac{7}{3}q }[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{49}{9}+\frac{14}{3}q+q^2+q^2-\frac{49}{9}-\frac{7}{3}q-4=\frac{7}{3}q }[/tex]
[tex]2q^2=4[/tex]
[tex]q^2=2[/tex]
[tex]q=\pm\sqrt{2}[/tex]
.
Substitusi nilai q ke pers.(iii) :
Untuk q = -√2 :
[tex]\displaystyle{p=\frac{7}{3}-\sqrt{2} }[/tex]
.
Untuk q = √2 :
[tex]\displaystyle{p=\frac{7}{3}+\sqrt{2} }[/tex]
.
Maka persamaan lingkarannya :
[tex](x-p)^2+(y-q)^2=r^2[/tex]
[tex]\displaystyle{\left ( x-\frac{7}{3}+\sqrt{2} \right )^2+(y+\sqrt{2})^2=4 }[/tex]
.
Atau
[tex](x-p)^2+(y-q)^2=r^2[/tex]
[tex]\displaystyle{\left ( x-\frac{7}{3}-\sqrt{2} \right )^2+(y-\sqrt{2})^2=4 }[/tex]
.
KESIMPULAN
Persamaan lingkarannya adalah [tex]\displaystyle{\boldsymbol{\left ( x-\frac{7}{3}+\sqrt{2} \right )^2+(y+\sqrt{2})^2=4~atau~\left ( x-\frac{7}{3}-\sqrt{2} \right )^2+(y-\sqrt{2})^2=4} }[/tex].
PELAJARI LEBIH LANJUT
- Mencari persamaan lingkaran : https://brainly.co.id/tugas/48987317
- Mencari persamaan lingkaran : https://brainly.co.id/tugas/29027081
- PGS pada titik di lingkaran : https://brainly.co.id/tugas/29521145
.
DETAIL JAWABAN
Kelas : 11
Mapel: Matematika
Bab : Lingkaran
Kode Kategorisasi: 11.2.5.1
Kata Kunci : persamaan, lingkaran, garis, menyinggung
Jawaban:
kemungkinan persamaan lingkaran pertama
(x - 2⅓ - √2)² + (y - √2)² = 4
kemungkinan persamaan lingkaran kedua
(x - 2⅓ + √2)² + (y + √2)² = 4
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Jawaban detil diberikan dalam bentuk gambar.
Semoga jelas dan membantu.
#TetapBelajar
#TetapSehat
#TetapJagaKesehatan
